Определение доказуемой формулы.

Количество возможных значений, которые может принимать произвольное высказывание, равно трем (1, 0, ½).

1 - ставится в соответствие оценка «істинно»;

0 – «ложно»;

½ - «неопределенно».

Пропозициональные связки отрицания и импликации задаются табличным способом: ійні зв’язки заперечення та імплікація задаються табличним способом:

q

С 1 ½ 0 Np

1 1 ½ 0 0

p ½ 1 1 ½ ½

0 1 1 1 1

Пропозиціиональные связки дизъюнкция, конъюнкция и эквиваленция задаются соответствующими определениями. Рассмотрим их последовательно.

рAq = Df pCqCq

1. рАq = 1А1 = 1С1С1 = 1С1 = 1

2. рАq = 0А0 = 0С0С0 = 1С0 = 0

3. рАq = 1А0 = 1С0С0 = 0С0 = 1

4. рАq = 0А1 = 0С1С1 = 1С1 = 1

5. рАq = ½ А½ =½ С½ С½ = 1С½ =½

6. рАq = ½ А1 =½ С1С1 = 1С1 = 1

7. рАq = 1А½ = 1С½ С½ =½ С½ = 1

8. рАq = ½ А0 =½ С0С0 =½ С0 =½

9. рАq = 0А½ = 0С½ С½ = 1С½ =½

pKq = Df N(NpANq)

1. pKq = 1K1 = N(N1AN1) = N(0A0) = N0 = 1

2. pKq = 1K0 = N(N1AN0) = N(0A1) = N1 = 0

3. pKq = 0K1 = N(N0AN1) = N(1A0) = N1 = 0

4. pKq =0K0 = N(N0AN0) = N(1A1) = N1 = 0

5. pKq = ½ K½ = N(N½ AN½) = N(½ A½) = N½ =½

6. pKq = ½ K1 = N(N½ AN1) = N(½ AN0) = N½ =½

7. pKq = 1K½ = N(N1AN) = N(0A½) = N½ =½

8. pKq = 0K½ = N(N0AN½) = N(1A½) = N1 = 0

9. pKq = ½ K0 = N(N½ AN0) = N(½ A1) =N1 = 0

pQq = Df pCqKqCp

1. pQq = 1Q1 = 1C1K1C1 = 1K1 = 1

2. pQq = 1Q0 = 1C0K0C1 = 0K1 = 0

3. pQq = 0Q1 = 0C1K1C0 = 1K0 = 0

4. pQq = 0Q0 = 0C0K0C0 = 1K1 = 1

5. pQq = ½ Q½ =½ C½ K½ C½ = 1K1 = 1

6. pQq = ½ Q1 =½ C1K1C½ = 1K½ =½

7. pQq = 1Q½ = 1C½ K½ C1 =½ K1=½

8. pQq = ½ Q0 =½ C0K0C½ = K1 =½

9. pQq = 0Q½ = 0C½ K½ C0= 1K0 = 0

Модальные функции в трехзначной системе Лукасевича являются фунциями трех значений истинности (1, 0, ½).

Исходной модальной функцией является возможность (М). Через возможность определяется невозможность и необходимость.

Содержательная трактовка возможности предусматривает связь существующего и возможного. Другими словами, существование чего-либо предполагает его возможность, но не наоборот. Исходя из этого, Лукасевич истолковал истинностную функцию возможности в аспекте трех истинностных значений следующим образом:



1) р, q, r …. – это переменные высказываний, в которых что-либо констатируется;

2) Мр, Мq, Мr, … - это переменные высказываний, в которых выражается оценка содержания высказывания с точки зрения его возможности: «возможно, что р», «возможно, что q».

Тогда, если высказывание «р» имеет оценку «1» (подтвержден факт существования), то высказывание «Мр» также имеет оценку «1». Это означает, что если нечто существует, то оно возможно. Если же высказывание «р» имеет оценку «0» (факт существования не подтвержден), то высказывание «Мр» имеет оцену «0», и тем самым подчеркивается отсутствие реализации некоторой возможности.

При определенных условиях некоторый факт может иметь место, а может и не иметь. Данное обстоятельство фиксируется высказыванием, имеющим оценку «½»(«неопределенно»). Модальное высказывание, образованное из него, будет иметь оценку «1», указывая тем самым на способность чего-то осществиться. .

С помощью таблиц сказанное можно отобразить так: :

р Мр
½

Как уже отмечалось, «М» является у Лукасевича исходной модальностью. Поэтому табличное определение возможности является базовым для определения остльных модальностей.

р Мр NMp MNp NMNp
½

Таким образом, перед нами таблица для «невозможности» (NMp) и для «необходимости»(NMNp).

Лукасевич задает модальную функцию «случайность»(D) следующим определением:

Dр = Df pQNp.

1. Dp = 1QN1 = 1Q0 = 0

2. Dp = 0QN0= 0Q1 = 0

3. Dp = ½ QN½ =½ Q½ = 1

В виде таблицы сказанное можно представить следующим образом:

р NDp
½

Dp – это значение случайности.

Прокомментируем определение случайности.

Чисто содержательно, если в высказывании «р» однозначно фиксируется наличие какого-либо факта либо его отсутствие, это означает исключение соответствующей случайности. Другими словами, если высказывание «р» имеет оценку «1» или «0», то модаль- ное высказывание «Dр» будет иметь оценку «0». А когда в высказывании «р» фиксируется равноценность того, что может или не может иметь место (это выражается оценкой «½»), модальное высказывание «Dр» оценивается как «1».



В предложенной Лукасевичем логике выводимыми (доказуемыми) являются только те формулы, которые при любых комбинациях значений подформул принимают значение «1».

Возьмем две формулы pCMpи MpСри проверимих на доказуемость:

р Мр рСМр МрСр
½ ½

Таким образом, формула рСМр является доказуемой и она принимается в логике Лукасевича, а формула МрСр не является доказуемой и отбрасывается в этой логике..


9301925507550473.html
9301977836686215.html
    PR.RU™